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C++計算任意權值的單源最短路徑(Bellman-Ford)

←手機掃碼閱讀     火星人 @ 2020-04-26 , reply:0

這篇文章主要為大家詳細介紹了C++計算任意權值的單源最短路徑,文中示例代碼介紹的非常詳細,具有一定的參考價值,感興趣的小夥伴們可以參考一下

本文實例為大家分享了C++計算任意權值單源最短路徑的具體代碼,供大家參考,具體內容如下

一、有Dijkstra算法求最短路徑了,為什麼還要用Bellman-Ford算法

Dijkstra算法不適合用於帶有負權值的有向圖。

如下圖:

用Dijkstra算法求頂點0到各個頂點的最短路徑:

(1)首先,把頂點0添加到已訪問頂點集合S中,選取權值最小的鄰邊<0, 2="">,權值為5

記錄頂點2的最短路徑為:dist[2]=5, path[2]=0,把頂點2添加到集合S中。

頂點2,沒有鄰邊(從頂點2出發,其他頂點為終點的邊),結束;

(2)訪問<0, 1="">邊,權值為7,把頂點7添加到頂點集合S中,dist[1]=7, path[1]=0。

雖然,頂點1有鄰邊<1,2>,但是因為頂點2已在集合S中,所以,不繼續修改,結束程序。

所以,最終dist[1]=7,dist[2]=5。顯然結果不對,頂點2的最短路徑應為:0->1->2,權值為7+(-5)=2

二、Bellman-Ford算法思路:

Bellman-Ford算法,效率低,但是適合用於求帶有負權值的單源最短路徑。

不考慮有迴路的,如下圖,頂點0到頂點1的最短路徑可以無窮小

下面開始簡單描述Bellman-Ford的思路:

可以,看到:通過繞過一些頂點,可以取得更短的路徑長度

當k=1時,即從源點(頂點0)到其他頂點,只需要一條邊。有<0,1>、<0,2>、<0,3>,所以有:dist[1]=6,dist[2]=5,dist[3]=5;

當k=2時,需要2條邊的,u=1,有0->2->3,長度為:5+(-2)=3, 更短,所以要修改dist[1]=3;

u=2,有:0->3->2,長度為:5+(-2)=3,更短,所以要修改dist[2]=3;

u=3,沒有兩條邊從頂點0到達頂點3的路徑;

u=4,有0->1->4,長度為:6+(-1)=5, 更短,所以要修改dist[4]=5;

u=5,有0->3->5,長度為:5+(-1)=4,更短,所以要修改dist[5]=4;

u=6,沒有2條邊就可以從頂點0到頂點6的路徑。

重複上面步驟,直到k=n-1結束程序。

三、實現程序:

1.Graph.h:有向圖

#ifndef Graph_h #define Graph_h #include

using namespace std; const int DefaultVertices = 30; templatestruct Edge { // 邊結點的定義 int dest; // 邊的另一頂點位置 E cost; // 表上的權值 Edge*link; // 下一條邊鏈指針 }; templatestruct Vertex { // 頂點的定義 T data; // 頂點的名字 Edge*adj; // 邊鏈表的頭指針 }; templateclass Graphlnk { public: const E maxValue = 100000; // 代表無窮大的值(=∞) Graphlnk(int sz=DefaultVertices); // 構造函數 ~Graphlnk(); // 析構函數 void inputGraph(); // 建立鄰接表表示的圖 void outputGraph(); // 輸出圖中的所有頂點和邊信息 T getValue(int i); // 取位置為i的頂點中的值 E getWeight(int v1, int v2); // 返回邊(v1, v2)上的權值 bool insertVertex(const T& vertex); // 插入頂點 bool insertEdge(int v1, int v2, E weight); // 插入邊 bool removeVertex(int v); // 刪除頂點 bool removeEdge(int v1, int v2); // 刪除邊 int getFirstNeighbor(int v); // 取頂點v的第一個鄰接頂點 int getNextNeighbor(int v,int w); // 取頂點v的鄰接頂點w的下一鄰接頂點 int getVertexPos(const T vertex); // 給出頂點vertex在圖中的位置 int numberOfVertices(); // 當前頂點數 private: int maxVertices; // 圖中最大的頂點數 int numEdges; // 當前邊數 int numVertices; // 當前頂點數 Vertex* nodeTable; // 頂點表(各邊鏈表的頭結點) }; // 構造函數:建立一個空的鄰接表 templateGraphlnk::Graphlnk(int sz) { maxVertices = sz; numVertices = 0; numEdges = 0; nodeTable = new Vertex[maxVertices]; // 創建頂點表數組 if(nodeTable == NULL) { cerr << "存儲空間分配錯誤!" << endl; exit(1); } for(int i = 0; i < maxVertices; i++) nodeTable[i].adj = NULL; } // 析構函數 templateGraphlnk::~Graphlnk() { // 刪除各邊鏈表中的結點 for(int i = 0; i < numVertices; i++) { Edge*p = nodeTable[i].adj; // 找到其對應鏈表的首結點 while(p != NULL) { // 不斷地刪除第一個結點 nodeTable[i].adj = p->link; delete p; p = nodeTable[i].adj; } } delete []nodeTable; // 刪除頂點表數組 } // 建立鄰接表表示的圖 templatevoid Graphlnk::inputGraph() { int n, m; // 存儲頂點樹和邊數 int i, j, k; T e1, e2; // 頂點 E weight; // 邊的權值 cout << "請輸入頂點數和邊數:" << endl; cin >> n >> m; cout << "請輸入各頂點:" << endl; for(i = 0; i < n; i++) { cin >> e1; insertVertex(e1); // 插入頂點 } cout << "請輸入圖的各邊的信息:" << endl; i = 0; while(i < m) { cin >> e1 >> e2 >> weight; j = getVertexPos(e1); k = getVertexPos(e2); if(j == -1 || k == -1) cout << "邊兩端點信息有誤,請重新輸入!" << endl; else { insertEdge(j, k, weight); // 插入邊 i++; } } // while } // 輸出有向圖中的所有頂點和邊信息 templatevoid Graphlnk::outputGraph() { int n, m, i; T e1, e2; // 頂點 E weight; // 權值 Edge*p; n = numVertices; m = numEdges; cout << "圖中的頂點數為" << n << ",邊數為" << m << endl; for(i = 0; i < n; i++) { p = nodeTable[i].adj; while(p != NULL) { e1 = getValue(i); // 有向邊dest> e2 = getValue(p->dest); weight = p->cost; cout << "<" << e1 << ", " << e2 << ", " << weight << ">" << endl; p = p->link; // 指向下一個鄰接頂點 } } } // 取位置為i的頂點中的值 templateT Graphlnk::getValue(int i) { if(i >= 0 && i < numVertices) return nodeTable[i].data; return NULL; } // 返回邊(v1, v2)上的權值 templateE Graphlnk::getWeight(int v1, int v2) { if(v1 != -1 && v2 != -1) { if(v1 == v2) // 說明是同一頂點 return 0; Edge*p = nodeTable[v1].adj; // v1的第一條關聯的邊 while(p != NULL && p->dest != v2) { // 尋找鄰接頂點v2 p = p->link; } if(p != NULL) return p->cost; } return maxValue; // 邊(v1, v2)不存在,就存放無窮大的值 } // 插入頂點 templatebool Graphlnk::insertVertex(const T& vertex) { if(numVertices == maxVertices) // 頂點表滿,不能插入 return false; nodeTable[numVertices].data = vertex; // 插入在表的最後 numVertices++; return true; } // 插入邊 templatebool Graphlnk::insertEdge(int v1, int v2, E weight) { if(v1 == v2) // 同一頂點不插入 return false; if(v1 >= 0 && v1 < numVertices && v2 >= 0 && v2 < numVertices) { Edge*p = nodeTable[v1].adj; // v1對應的邊鏈表頭指針 while(p != NULL && p->dest != v2) // 尋找鄰接頂點v2 p = p->link; if(p != NULL) // 已存在該邊,不插入 return false; p = new Edge; // 創建新結點 p->dest = v2; p->cost = weight; p->link = nodeTable[v1].adj; // 鏈入v1邊鏈表 nodeTable[v1].adj = p; numEdges++; return true; } return false; } // 有向圖刪除頂點較麻煩 templatebool Graphlnk::removeVertex(int v) { if(numVertices == 1 || v < 0 || v > numVertices) return false; // 表空或頂點號超出範圍 Edge*p, *s; // 1.清除頂點v的邊鏈表結點w 邊while(nodeTable[v].adj != NULL) { p = nodeTable[v].adj; nodeTable[v].adj = p->link; delete p; numEdges--; // 與頂點v相關聯的邊數減1 } // while結束 // 2.清除,與v有關的邊 for(int i = 0; i < numVertices; i++) { if(i != v) { // 不是當前頂點v s = NULL; p = nodeTable[i].adj; while(p != NULL && p->dest != v) {// 在頂點i的鏈表中找v的頂點 s = p; p = p->link; // 往後找 } if(p != NULL) { // 找到了v的結點 if(s == NULL) { // 說明p是nodeTable[i].adj nodeTable[i].adj = p->link; } else { s->link = p->link; // 保存p的下一個頂點信息 } delete p; // 刪除結點p numEdges--; // 與頂點v相關聯的邊數減1 } } } numVertices--; // 圖的頂點個數減1 nodeTable[v].data = nodeTable[numVertices].data; // 填補,此時numVertices,比原來numVertices小1,所以,這裡不需要numVertices-1 nodeTable[v].adj = nodeTable[numVertices].adj; // 3.要將填補的頂點對應的位置改寫 for(int i = 0; i < numVertices; i++) { p = nodeTable[i].adj; while(p != NULL && p->dest != numVertices) // 在頂點i的鏈表中找numVertices的頂點 p = p->link; // 往後找 if(p != NULL) // 找到了numVertices的結點 p->dest = v; // 將鄰接頂點numVertices改成v } return true; } // 刪除邊 templatebool Graphlnk::removeEdge(int v1, int v2) { if(v1 != -1 && v2 != -1) { Edge* p = nodeTable[v1].adj, *q = NULL; while(p != NULL && p->dest != v2) { // v1對應邊鏈表中找被刪除邊 q = p; p = p->link; } if(p != NULL) { // 找到被刪除邊結點 if(q == NULL) // 刪除的結點是邊鏈表的首結點 nodeTable[v1].adj = p->link; else q->link = p->link; // 不是,重新鏈接 delete p; return true; } } return false; // 沒有找到結點 } // 取頂點v的第一個鄰接頂點 templateint Graphlnk::getFirstNeighbor(int v) { if(v != -1) { Edge*p = nodeTable[v].adj; // 對應鏈表第一個邊結點 if(p != NULL) // 存在,返回第一個鄰接頂點 return p->dest; } return -1; // 第一個鄰接頂點不存在 } // 取頂點v的鄰接頂點w的下一鄰接頂點 templateint Graphlnk::getNextNeighbor(int v,int w) { if(v != -1) { Edge*p = nodeTable[v].adj; // 對應鏈表第一個邊結點 while(p != NULL && p->dest != w) // 尋找鄰接頂點w p = p->link; if(p != NULL && p->link != NULL) return p->link->dest; // 返回下一個鄰接頂點 } return -1; // 下一個鄰接頂點不存在 } // 給出頂點vertex在圖中的位置 templateint Graphlnk::getVertexPos(const T vertex) { for(int i = 0; i < numVertices; i++) if(nodeTable[i].data == vertex) return i; return -1; } // 當前頂點數 templateint Graphlnk::numberOfVertices() { return numVertices; } #endif /* Graph_h */

2.Bellman-Ford.h

#ifndef Bellman_Ford_h #define Bellman_Ford_h #include "Graph.h" // Bellman-Ford算法 templatevoid BellmanFord(Graphlnk&G, int v, E dist[], int path[]) { int i, k, u, n = G.numberOfVertices(); E w; // 1.初始化,將頂點v作為u頂點(存在有向邊)的上一個頂點,記錄路徑 for(i = 0; i < n; i++) { dist[i] = G.getWeight(v, i); if(i != v && dist[i] < G.maxValue) path[i] = v; else path[i] = -1; } // 2.迭代求解:反覆對邊集E中的每條邊進行鬆弛操作,使得頂點集V中的每個頂點的最短距離估計值逐步逼近其最短距離;(運行n-1次,因為上面算是1次:k=1,所以,k從2開始) bool isFlag; // 監視該輪dist數組是否有變化 for(k = 2; k < n; k++) { isFlag = false; for(u = 0; u < n; u++) { // 遍歷頂點,找不是v的頂點 if(u != v) { for(i = 0; i < n; i++) { w = G.getWeight(i, u); if(w != 0 && w < G.maxValue && dist[u] > dist[i] + w) { // 存在邊,並且繞過i,使得路徑更短,就修改u頂點的最短路徑 // w可能是負權值,如果i和u是同一頂點,則w是0,排除同一頂點的情況 // 也可以不寫w!=0,因為同一頂點,w=0,dist[u]==dist[i]+w會不滿足 // dist[u] > dist[i] + w這個條件 dist[u] = dist[i] + w; path[u] = i; // 記憶路徑 isFlag = true; } } // 第3重循環 } } // 第2重循環 if(isFlag == false) // 如果dist數組沒有變化,說明各個頂點已求得最短路徑 break; } // 第1重for循環 } // 從path數組讀取最短路徑的算法 templatevoid printShortestPath(Graphlnk&G, int v, E dist[], int path[]) { int i, j, k, n = G.numberOfVertices(); int *d = new int[n]; cout << "從頂點" << G.getValue(v) << "到其他各頂點的最短路徑為:" << endl; for(i = 0; i < n; i++) { if(i != v) { // 如果不是頂點v j = i; k = 0; while(j != v) { d[k++] = j; j = path[j]; } cout << "頂點" << G.getValue(i) << "的最短路徑為:" << G.getValue(v); while(k > 0) cout << "->" << G.getValue(d[--k]); cout << ",最短路徑長度為:" << dist[i] << endl; } } } #endif /* Bellman_Ford_h */

3.main.cpp

/* 測試數據: 7 10 0 1 2 3 4 5 6 0 1 6 0 2 5 0 3 5 1 4 -1 2 1 -2 2 4 1 3 2 -2 3 5 -1 4 6 3 5 6 3 */ #include "Bellman-Ford.h" const int maxSize = 40; int main(int argc, const char * argv[]) { GraphlnkG; // 聲明圖對象 int dist[maxSize], path[maxSize], v; char u0; // 創建圖 G.inputGraph(); cout << "圖的信息如下:" << endl; G.outputGraph(); cout << "請輸入起始頂點u0:" << endl; cin >> u0; v = G.getVertexPos(u0); // 取得起始頂點的位置 // 我把dist數組放到有向圖頭文件中,方便建立有向圖時,同時初始化dist數組 BellmanFord(G, v, dist, path); // 調用BellmanFord函數 printShortestPath(G, v, dist, path); // 輸出到各個頂點的最短路徑 return 0; }

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